Rize'de 1962 yılında doğan Hasan Vezir, futbol kariyerine Çaykur Rizespor'un altyapısında başladı. Genç yaşta gösterdiği performansla dikkat çeken Vezir, 1983-1984 sezonunun başında Trabzonspor'a transfer oldu. Bu transfer, Trabzonspor'un son şampiyonluğunu kazandığı sezonla örtüştü ve Vezir, bordo-mavili forma altında Türkiye millî takımına da adım attı.
Trabzonspor'da dört başarılı sezon geçiren Hasan Vezir, 1988'de Çaykur Rizespor'a geri döndü. Ancak bu dönüş kısa sürdü ve aynı sezonun 7. haftasında, teknik direktör Todor Veselinović'in isteğiyle Fenerbahçe'ye transfer oldu. Bu transfer karşılığında Çaykur Rizespor, Orhan Kapucu, Önder Çakar, Bilal Şar ve İskender Eroğlu'nu aldı. Fenerbahçe'de sadece yedi ay kalan Vezir, 23 maçta attığı 15 golle şampiyonlukta önemli rol oynadı.
Fenerbahçe forması altında unutulmaz bir maç da yaşandı. Galatasaray ile oynanan Türkiye Kupası maçında, ilk yarıyı 3-0 geride kapayan Fenerbahçe, Hasan Vezir'in üç golüyle maçı 4-3 kazanarak kupada ilerledi. 
Ancak sezon sonu, kariyerinde beklenmedik bir dönüm noktası yaşandı. Galatasaray yöneticisi Ergun Gürsoy, Hasan Vezir'i "kaçırarak" sarı-kırmızılı takıma transfer etti. Bu transfer, Fenerbahçe'nin Türkiye Kupası finaline çıkmasından hemen önce gerçekleşti ve Vezir, Galatasaray formasıyla yeni bir başlangıç yaptı. İlk sezonunda ligde 29 maçta 11 gol, 9 asist yaparak dikkat çekti. İkinci sezonunda ise 22 maçta 5 gol, 2 asist ile katkıda bulundu ve 1990-91 sezonunda Galatasaray ile ikinci Türkiye Kupası'nı kazandı.
Millî takımda da 15 kez A Millî, 4 kez Ümit millî formayı giyen Hasan Vezir, 1986 FIFA Dünya Kupası, EURO 1988 ve 1990 FIFA Dünya Kupası elemelerinde yer aldı. Futbolculuk kariyerini noktaladıktan sonra teknik direktörlük yapan Vezir, Türk futbolunun unutulmaz isimlerinden biri olarak hatırlanıyor.